3.1. 모형

본 논문에서는 각 군에서 하나의 관측값이 존재할 경우는 이전의 연구자들이 추천한 방법을 그대로 사용할 수 있으므로 제외하며, 각 군에 다수의 관측값이 있는 경우가 전자보다 널리 활용되고 있으므로(Montgomery, 2013), 이 상황에 한정한다.

군별로 공정평균과 분산이 변할 경우에 i번째 군의 j번째 관측값 x_ij에 관한 일반적인 모형은

로 나타낼 수 있으며, 그리고 군별로 표본크기가 일정하다면(N=km),

단, x¯¯=∑i=1k∑j=1mxijN, x¯i=∑j=1mxijm

가 된다. 식 (11)에서 ANOVA의 기본 모형과 달리 각 군의 분산이 일정하지 않을 수 있다는 확장된 모형으로 가정하고 있다.

새로운 안정성 비율을 식 (6)과 (7), 식 (8)과 (9)보다 식 (6)과 (9)로부터 다음과 같이 정의하면

이므로, 만약 각 군의 평균과 분산이 동일하다면, SR은 F분포가 포함된 다음의 식 (14) 형태로 표시할 수 있으나, 각 군의 평균과 분산이 상이할 때는 별도의 근사 방법을 적용하여야 한다.

이로부터 SR은 공정능력지수(process capability index, PPI, P_pk) 및 공정성능지수(process performance index; PCI, C_pk)와 다음 관계가 성립한다.

여기서 SSW=∑i=1k∑j=1m(xij-x¯i)2=∑i=1k∑j=1m(ϵijϵ¯i)2이므로 기댓값을 구하면 E(SSW)=∑i=1k(m-1)σi2이 되며 이로부터

이 되어 MSW의 기댓값은 각 부분군의 분산들의 평균이 된다.

그리고 SSB의 기댓값은

이 되며, α¯=0인 성질을 이용하면

이므로 MSB의 기댓값은

가 된다. 따라서 식 (16)과 (17)에서 보듯이 MSB와 MSW는 독립이나 F분포를 따르지 않으므로 다음 소절에서 언급한 바와 같이 별도의 근사방법이 필요하다.

한편, 각 군의 표본크기가 다를 경우는 m을 m_i로 바꾸고 식 (11)에서 ∑i=1kmiαi=0로 대치하여 ∑i=1k(mi-1)=N-k. α¯=∑i=1kmiαi/N=0등을 이용하면, 위와 동일한 방법으로 전개하여 다음을 얻을 수 있다.

여기서 σ¯2는 각 군의 표본크기를 반영한 가중평균 형태에 속하며, 상기 식을 이용하면 각 군의 표본크기가 다를 경우로 확장하더라도 다음 소절에서 얻은 수식을 수월하게 도출할 수 있을 것이다.

3.2 공정 평균과 분산이 변할 경우의 근사분포

공정이 안정될 경우라도 공정산포가 일정하지 않고 어느 정도의 변화 범위를 허용할 수 있다. 이런 경우 표본크기가 동일한 경우는 대체적으로 F 검정이 강건(robust)하다고 알려져 있다. 하지만 표본크기가 어느 정도 크거나 분산비(가장 큰 분산과 작은 분산의 비)가 얼마나 되어야 F 검정을 충분히 사용 가능한지에 대한 연구결과가 연구자별로 상이한 편이고, 또한 강건하지 않다고 주장하는 연구도 여러개가 있다(Blanca et al., 2018).

여기서는 관리도 적용 상황인 표본크기가 10이하인 경우가 주 대상이 되므로, 분산이 동일하지 않으면서 소표본일 경우에 F 검정의 대안으로 추천될 수 있으면서(Parras-Frutos, 2013), 보다 수월하게 본 문제 상황에 적용할 수 있는 검정법은 Brown-Forsythe(1974) 방법이다. 이 방법은 특정한 경우에 제1종 오류를 증대시킬 수 있으므로, 본 논문에서는 Box(1954)의 방법을 이용해 자유도의 근사 정확도를 향상시킨 수정 Brown-Forsythe 방법을 채택한다.

먼저 N=mk일 때 σ^ST으로 식 (9)를 채택한 Brown-Forsythe 방법의 검정통계량은 다음과 같다.

여기서, ν2=[∑i=1kwi2/(m-1)]-1, wi=σi2∑j=1kσj2=σi2kσ¯2, σi2=E(si2)

Box(1954)는 H₀ : α₁=⋯=α_k=0(단, 분산이 다를 경우)일 때 E(MSB)=E(MSW)=σ¯2가 되어 MSB/MSW ≈ 1로 볼 수 있지만 F(k-1, N-k)를 따르지 않으므로, 다음의 근사분포를 제안하였다.

(21)

여기서 c는 σ²에 관한 변동계수 형태에 속한다. Brown-Forsythe(1974) 방법에서 분모의 자유도는 b(N-k)=k(m-1)/(1+c²)=v₂가 되어 위와 같아지지만, 분자의 자유도는 모든 표본분산이 동일할 때인 k-1이 된다. 따라서 이 방법에 의한 임계값은 실제보다 작아져, 제1종 오류는 명목값을 초과하게 된다.

이런 점을 고려하여 Mehrotra(1997)에 의해 제안된 수정 Brown-Forsythe 방법은 분모의 자유도는 위와 동일하지만 분자의 자유도는 Box(1954)의 식 (21)로부터 다음과 같이 근사하고 있으므로, 본 논문에서는 몬테카를로 시뮬레이션 대신에 해석적인 이 방식을 채택한다.

4.1 공정성능 그래프

Wheeler(2004)는 관리도의 관리상태와 공정능력 충족 여부를 기준으로 네 가지 영역으로 대별하여 각 영역별 필요 조치들을 적시하고, 이를 통해 공정특성들의 기초 상태를 파악하여 SPC를 수행하는 방안을 제시하였다. 최근 들어 Wheeler의 아이디어를 구체화시키면서, 상당 개수의 공정특성이 있을 경우 효율적으로 선별하기 위한 방법으로 공정 안정성과 공정성능 척도에 관한 이차원 도표인 공정성능 그래프가 추천되고 있다(Sall, 2018; Ramirez, 2018; Jensen et al., 2019; White et al., 2021).

Figure 1은 JMP에서 제공하는 공정성능 그래프 화면으로 수평축은 안정성 척도(SI)를, 수직축은 공정성능지수(process performance index; PPI, P_pk)를 표시하는 2차원 영역으로, 전자는 1.25, 후자는 1.33을 기준으로 네 가지 영역으로 구분하고 타점된 공정특성의 상태에 대한 선별을 쉽게 할 수 있도록 구성되어 있다. 또한 이 그림에서 공정능력지수(process capability index; PCI, C_pk)의 상태도 일부분 곡선 형태로 보여 주고 있다. 한편 White et al.(2021)은 이 그림에 C_p와 목표값 이탈지수(target index)까지 색깔과 점 크기로 표시하고 있는데, 규격중심이 이 값과 일치하는 보편적 상황일 때 P_pk 및 C_pk에 반영되고, 증가된 정보제공량에 비해 공정상태 분별력이 떨어질 수 있어 그리 유용성이 높지 않다고 판단된다.

Figure 1.

Process performance graph: JMP

식스 시그마에서 도입된 공정성능지수 P_pk는 공정이 안정적이라고 전제되어야 공정능력을 평가할 수 있다는 SPC의 기본 개념과 어긋나 추천하지 않는 학자와 전문가도 제법 많은 편이다(Montgomery, 2013). 따라서 본 논문에서는 Figure 2에 표시된 바와 같이 식 (15)와 같은 제곱 형태인 SR보다는 이의 제곱근인 SI를 채택하고, 수직축 P_pk대신에 C_pk를 표시하는 수정된 공정안정성 평가 그래프를 제안하며, 또한 P_pk에 관한 정보도 추가하므로서 더 많은 정보를 이용하여 공정 안정성을 평가하도록 하였다.

Figure 2.

Revised process performance graph

그리고 안정적인 공정으로 간주하는 안정성 척도(SI)가 1.25(SR은 1.25²)이어야 한다는 근거도 명확하지 않으며, 또한 Britt et al.(2016)은 공정 안정성 척도로 SR을 채택하여 1.25²=1.5625가 아닌 1.5을 기준으로 채택하는 등 공정안정성에 대한 정확한 기준이 없으므로, 본 논문에서는 이 기준이 타당한지를 검토하기 위해 앞 절에서 제안된 통계량과 근사분포를 이용하여 단계 1의 여러 여건에 따른 SR의 임계값을 구하고자 한다.

만약 SR의 임계값이 설정되면 이로부터 구한 SI및 C_pk(대체적으로 1.33)에 따라 Figure 2처럼 공정성능 그래프를 네 가지 영역으로 구분하며, 영역 I에 타점된 공정특성은 이상적 상태에 근접한 경우이므로 시정조치가 요구되지 않지만, 영역 II일 때는 C_pk가 낮은 원인(즉, 공정평균의 중심/목표값 이탈 정도, 산포(표준편차)의 과대 문제, 규격의 적정성 등)을 조사해야 한다. 그리고 영역 IV일 때는 공정의 안정성에 저해되는 요인을 조사하여 조치를 취한 후에 C_pk가 높은 이유가 규격의 폭이 넓게 설정되어 있는지를 확인할 필요가 있다. 마지막으로 영역 III에 해당되는 공정은 먼저 공정 안정성을 저해하는 원인에 대한 시정조치를 취한 후에 공정능력을 높일 방법을 찾아야 한다.

4.2 평균과 산포 변동을 고려한 SR 임계값 산출

공정 안정성 평가 시에 어느 정도의 공정 평균의 이동(drift)과 공정산포의 변화(주로 증대)를 허용할 수 있다. 일례로 식스 시그마에서는 장기적으로 공정평균이 공정 표준편차의 1.5배 정도 이동하는 것을 용인하여 이를 공정능력 평가 시에 반영하고 있다.

본 논문에서는 이런 여건을 반영하여 공정 평균과 산포의 변화를 모두 허용하지 않을 경우, 둘 중에서 한 가지만 허용할 경우의 두 가지와 더불어 공정 평균과 산포의 변화를 모두 허용할 경우 등 네 가지 상황으로 구분하여 안정성 지수의 임계값을 구하고자 한다.

여기서 F분포의 유의수준으로 0.01를 택했는데, 0.05나 0.0027(관리도)를 택할 경우도 동일한 방법으로 구할 수 있으며, 여기서는 중간 값에 해당되는 0.01만 수록하였다.

그리고 부분군 수 m은 X¯-R 관리도에서 널리 쓰이는 4와 5를, X¯-s 관리도일 때는 대표적으로 10인 경우를 수록하였다. 그리고 X¯-R 관리도일 때 단기공정 산포의 추정량으로 식 (7) 외에 공정능력을 평가할 때는 합동추정량 형태인 식 (9)의 s_p도 쓰이므로 후자의 경우도 추가하였다. 특히 X¯-R 관리도에서 R¯로 단기 공정산포를 추정할 경우에는 2장에서 언급한 바와 같이, Wheeler(2004)가 제안한 이론적 근거에 의해 F분포의 분모 자유도를 원래 자유도에 0.9를 곱하여 설정하였다(Ramirez and Runger, 2006).

먼저 Table 2에는 공정평균과 산포가 동일하고 일정한 경우 앞 3장 1절의 식 (14)를 이용하여 부분군의 수 및 크기에 따른 임계치가 수록되어 있다.

Table 2.

Stability ratio under equal variances and equal means

그리고 Table 3에는 공정산포는 일정하지만 공정평균에 어느 정도 변화를 감내할 수 있는 경우로 △ = μ_max-μ_min(즉, 평균이탈(off-mean)이 최대 △/2)가 1.0일 때의 부분군의 수에 따른 임계치가 수록되어 있다. 여기서 μ_i들의 평균이 μ가 되도록 설정하면서 가장 극한적인 경우로, k가 모두 짝수일 때 k/2개 군의 공정평균이 μ_min이고 k/2개 군의 공정평균이 μ_max 일 경우로 상정하였다.

Table 3.

Stability ratio under equal variances and unequal means: △ = 1.0σ

그런데 식 (14)의 분자에 포함된 MSB의 기댓값은 식 (17)이 되지만, 제안된 SR에 적용되는 F분포의 분위수는 이로부터 구할 수 없다. 즉, 비중심 모수가 m∑i=1kαi2/σ2=N△2/4인 비중심 F분포를 따르므로 이를 이용하여 임계값을 작성하였다. 한편, 비중심 F분포에서 분위수를 쉽게 구할 수 없는 경우가 발생할 수 있으므로, 여기서는 N가 400이상일 경우 우측과 좌측 꼬리의 분위수일 때 근사 정확도가 높은 다음의 Patnaik(1949)의 방법을 적용하였다.

여기서, F_α와 Fα'는 중심과 비중심 F분포의 (1-α)분위수이며, δ는 비중심 모수, f1=(ν1+δ)2ν1+2δ이다.

공정산포가 변할 경우로 분산범위가 σ² ∼ dσ², d > 1일 경우를 상정하자. 식 (21)에서 0 ≤ c² ≤ k-1인데, c²의 최댓값은 한 값이 dσ²이고 나머지 k-1개가 σ²일 때가 되며, 그 값은 (k-1)(d-1)2/(d-1+k)2=(k-1)[(d-1)/(d-1+k)]2이다. 따라서 이 경우를 대입하여 식 (21) 및 (22)에 의해 k에 따른 임계치를 구한 결과가 Table 4에 정리되어 있다.

Table 4.

Stability ratio under unequal variances and equal means: d = 4.0

실험계획 교재 등에서도 분산비가 3정도 되어도 기존의 ANOVA 검정을 적용할 수 있다고 기술하고 있으므로 (Dean and Voss, 1999), 여기서는 이를 약간 초과한 4(표준편차의 비로 2)인 경우를 대상으로 설정하였다.

마지막으로 공정평균과 공정산포가 모두 변할 경우는 위의 두 경우의 SR 임계값 도출방법을 결합하여 얻은 결과가 Table 5에서 볼 수 있다. 여기서 각 부분군의 표준편차가 다를 수 있으므로 △를 1.0σ_min일 때로 설정하였다.

Table 5.

Stability ratio under unequal variances and unequal means : d = 4.0 and △ = 1.0σ_min

지금까지 언급한 내용과 Table 2 ~ 5로부터 다음의 특징을 요약할 수 있다.

(1) k와 m이 증가함에 따라 임계값은 당연히 감소하고 있다.

(2) X¯-R관리도로부터 단기 공정분산을 추정하더라도 합동 분산을 추정할 때와 거의 유사한 임계값을 가진다.

(3) 공정평균의 이동 허용여부가 공정분산의 변화보다 큰 영향을 미침을 알 수 있다.

(4) 공정평균의 이동과 분산의 변화를 허용하지 않거나 공정분산의 증대(4배까지)만 허용할 경우는 단계 1의 부분군의 수의 범위(20 ~ 100)일 때 JMP의 기준 1.25²=1.5625보다 더 엄격해야 함을 보여 주고 있다.

(5) 공정평균의 이동만을 허용할 경우(± 0.5σ)는 단계 1의 부분군의 수일 때(즉, k가 20~30) 대체적으로 판별기준을 1.5 ~ 1.6 정도로 삼을 수 있다.

(6) 공정평균의 이동과 분산을 모두 허용할 경우는 단계 1의 부분군의 수가 40이상 정도 되어야 판별기준으로 1.5 ~ 1.6으로 삼을 수 있다.

4.3 수치예제

첫째 자료는 자동차 부품 공장의 공정 1의 공정특성 데이터((원래값-목표값)*1,000)이며, 둘째 자료는 같은 공장의 공정 2의 공정특성 데이터로서 기본정보와 이로부터 계산된 여러 가지 요약값 및 SR과 SI값이 Table 6에 정리되어 있다.

Table 6.

SR and process capability index: Numerical examples

SR을 식 (14)로 구한 결과를 공정 1에 대해 예시하면 다음과 같이 1.046이 되며,

x¯¯가 1.113이고, σ^ST=101.42=10.07이므로 C_pk의 추정값은

C_pk=min((50-1.113)/(3·10.07)=1.62, (1.113+50)/(3·10.07)=1.66)=1.62 이다. 참고로, 공정 1에 관한 X¯-R관리도가 Figure 3에 수록되어 있다. 이를 보면 공정1은 관리상태에 있음을 확인할 수 있으며, 또한 공정 2도 관리상태에 있다.

Figure 3.

X̄ − R control chart: Process 1(Minitab output)

공정성능 그래프에 두 공정의 SR의 제곱근인 SI와 C_pk를 타점한 결과를 Figure 4에서 볼 수 있는데, 두 공정 모두 공정산포의 증대만을 허용할 경우(Table 4에서 공정 1은 1.19=1.09, 공정 2는 1.11=1.05임), 공정 1은 안정적이지만 공정 2는 그렇지 못하다. 하지만 공정평균의 이동도 허용한다면(±0.5σ_min), 공정 2도 Table 5의 1.63=1.28보다 작아 안정적이라 볼 수 있다. 또한, 공정 1은 두 척도에 관한 기준을 만족하여 공정의 기초상태가 만족스럽다고 판정할 수 있다. 그런데 공정 2는 C_pk가 1.00이 되어 충분하지 못하므로, 규격의 타당성을 검토하거나 중심 이탈정도와 표준편차를 줄일 필요가 있다.

Figure 4.

Process performance graph: Numerical examples