2.1 감마과정 모형

본 논문에서는 시점 t′ 에서의 열화특성치 y(t′)가 형상계수 (shape coefficient) α′ (>0), 척도계수(scale coefficient) β (>0) 를 가지는 감마과정을 가정하며 아래와 같은 특성을 갖는다.

1. y(0)=0,

2. y(t')t'≥0 는 정상 독립 증분(stationary independent increments)을 가진다.

3. y(t′) 는 다음과 같은 확률밀도함수(Probability Density Function, pdf)를 갖는 감마 분포(gamma distribution)를 따른다.

여기서, α′t′ 는 형상모수(shape parameter)이고 β 는 척도모수(scale parameter)이다.

4. 각 독립 증분 Δyab=y(t'b)-y(t'a);0≤t'a≤t'b 은 형상모수가 α'Δt'(=α'(t'b-t'a)) 이고 척도모수가 β 인 감마 분포를 따른다.

2.2 가속 모형 및 표준화

본 논문에서는 감마과정의 스트레스 s' 하에서의 형상계수 α′(s')(>0) 가 스트레스 s'와 다음의 모형 중 하나를 따른다고 가정한다 (Nelson 1990).

아레니우스 모형 : α(s')=δ1'exp(-δ2/s'), s'는 절대온도

멱함수 모형 : αs'=δ1's'δ2', s'는 전압

지수 모형 : α(s')=δ1'exp(-δ2's') , s'는 기후 변수

여기서, δ₁'(>0)와 δ₂'(>0)는 미지의 상수이다.

s₀'을 사용 조건, s_M'을 최대 스트레스 수준, t_M′ 을 최대 시험 시간이라고 하면 모형의 간편성을 위해 각 스트레스 수준과 시험 시간은 다음과 같이 표준화할 수 있다.

s=1/s0'-1/s'1/s0'-1/sM' 아레니우스 모형,

=ln s'- lns 0'ln s M'- lns 0' 멱함수 모형,

=s'-s 0 's M'-s 0 ' 지수 모형.

t=s'tM'.

표준화 후 s₀'=0, s_M=1, t_M=1, 0≤s≤1, 0≤t≤1을 만족하며, 형상모수 α'(s')t' 는 다음과 같이 표준화된 형태 (s,t)로 표현할 수 있다.

여기서,

δ1=1n(δ1'tM')-δ2'/s0',δ2=δ2'(1/s0'-1/sM') 아레니우스 모형,

δ1=1n(δ1'tM')+δ2'1ns0',δ2=δ2'(1nsM'-1ns0') 멱함수 모형,

δ1=1n(δ1'tM')+δ2's0',δ2=δ2'(sM'-s0') 지수 모형이고, δ₂는 항상 양수이다.

2.3 수명 분포

열화특성치가 형상계수 α(s) 와 척도계수 β 를 가지는 감마과정을 따를 때, 고장기준값 y_c에 도달하는 시간으로 정의되는 수명 T는 다음과 같은 분포를 따른다.

여기서, Г(a,b)는 다음과 같이 정의되는 불완전 감마 함수 (incomplete gamma function) 이다.

스트레스 수준 s 에서의 수명분포는 t가 클 때 점근적으로 아래와 같은 누적분포함수 (Cumulative Distribution Function, cdf)를 가지는 Birnbaum-Saunders 분포를 따른다 (Park and Padgett 2005).

여기서, Φ∙는 표준정규분포의 누적분포함수이다. 스트레스 수준 s 에서의 수명분포의 q 분위수 t_q,s는 근사적으로 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서, z_q는 표준 정규 분포의 q 분위수이다. 식 (1)로부터 α(s₀)=α(0)=exp(δ₁)가 되고, δ1⏜  과 β⏜ 을 각각 δ₁과 β의 최우추정량이라 하면 tq,o⏜ 는 다음과 같이 구할 수 있다.

3.1 가정사항

본 논문에서는 다음과 같은 모형을 가정하였다.

1. 각 스트레스 수준 s_i (i=1,2,…, r) 에서 스트레스는 시험시간 동안 일정하게 가해진다.

2. 시험은 총 N =∑nii=1r 개의 시료에 대해 각 스트레스에 n_i (i=1, 2,…, r)개의 시료를 할당하여 r 대의 챔버에서 동시에 진행되며, 각 스트레스 수준에서 측정횟수는 m으로 동일하다.

3. 측정시간 간격은 Δt로 동일하며 총 시험시간은 t_M=Δt•m=1을 만족한다.

y_ijk를 t_ijk (k=1, 2,…, m) 에서 측정된 열화특성치라고 하면 각 열화증분 (degradation increment) Δy_ijk=y_ijk-y_ij,(k-1)(y_ijk>y_ij,(k-1)) 은 다음과 같은 감마 분포를 따른다.

3.2 문제의 정형화

가속열화시험을 설계하기 위한 다양한 최적화 기준이 활용되고 있으며 사용조건에서의 수명분포의 q-분위수 수명 또는 평균 수명의 (점근) 분산과 평균 제곱 오차 (Mean Squared Error, MSE)가 가장 널리 활용되고 있다 (Li and Kececioglu 2004, 2006, Liao and Tseng 2006, Park and Yum 1997, Park and Yum 2004, Shi et al. 2009, Tseng et al. 2009). 추가적으로 Boulanger and Escobar (1994)와 Liao and Elsayed (2004)는 일반화 분산(generalized variance)을, Tang et al.(2004)는 총 시험 비용을 최적화 기준으로 활용하였다. 본 논문에서는 사용조건에서 수명 분포의 q-분위수 추정량의 점근분산이 최소가 되도록 스트레스 수준 및 각 스트레스에 할당하는 시료 수를 결정하고자 한다. 목적함수를 계산하기 위한 N 개 시료의 대수우도함수는 식 (1)과 (2)로부터 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서, A_i=α(s_i)∆t=[exp(δ₁+δ₂s_i)]∆t 이다. 피셔정보행렬 F 는 lnL를 δ₁, δ₂, β 에 대하여 이차편미분하여 음의 기댓값을 취하여 다음과 같이 산출할 수 있다 (Lawless 1982, 부록 A).

여기서, ψ1=(Ai)=∂ΙnΓ(Ai)/θAi2, i=1,2, …, r 정의되는 트리감마함수(trigamma function)이다. 이로부터 F^-1를 구하고 h를 다음과 같이 정의한다.

여기서, β_c=y_c/β 이다. 그러면, tq,o⏜  의 점근분산은 다음과 같이 구할 수 있다 (부록B).

여기서, ^‘t’는 전치를 나타낸다. 두 스트레스 수준을 갖는 가속열화시험의 최적화 문제는 척도인자인 1/(mN)를 생략하여 다음과 같이 정형화할 수 있다.

Minimize u=h12P+2h1h3Q+h32RK

Subject to 0≤s₁<s₂≤1

0≤π₁≤1

π₁+π₂=1

여기서,

목적함수 V 는 결정변수 s₁,s₂,π₁,π₂ 와 δ₁,δ₂, β_c,q, ∆t(=1/m)의 함수이다.

3.3 사전추정

목적함수 v 는 미지의 상수 δ₁, δ₂, β_c에 의존하므로 미지의 모수에 대한 사전 추정이 필요하다. Lim and Yum (2011)은 최대 스트레스 수준에서의 예비 시험과 전문가의 판단에 의한 사전 추정 방법을 제시하였다. 먼저 짧은 시간동안 가능한 많은 열화 정보를 확보하기 위하여 최대 스트레스 수준 (s₂=1) 에서 예비 시험을 수행하고 이로부터 β_c와 δ₁+ δ₂ 형태의 모수를 추정한다. 그리고 p₀를 사용조건에서 특정 시점 (τ)까지의 고장 확률이라고 하면 식 (3)의 Birnbaum-Saunders 분포로부터 다음과 같이 표현할 수 있다.

그러면, δ₁은 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 z₀는 표준정규분포의 p₀ 분위수이다. δ₂는 예비 시험으로부터 추정된 δ₁ +δ₂로부터 δ₁의 사전추정치를 뺌으로써 사전 추정할 수 있다.

3.4 최적화

위 문제는 목적함수가 복잡하기 때문에 분석적 (analytic) 방법으로 해를 구하기 어려워 모의 담금질(Simulated Annealing)과 같은 시뮬레이션 방법으로 최적해를 구할 수 있으나, 시간이 오래 걸리는 단점이 있어 본 논문에서는s₁,s₂,π₁ 에 대하여 격자탐색을 이용하여 최적해를 산출하였다. 최적화 결과 높은 스트레스 수준은 항상 최대 스트레스 수준으로 결정되며 (즉, s2*=1), 다양한 δ₁, δ₂, β_c, q, m 값들의 조합에 따른 결과는 Table 1a-1b에서 보여주며, 다음과 같은 경향을 보인다. 여기서, ‘*’는 최적해를 나타낸다.

Table 1a.

Optimal ADT plans (s^*₂ = 1, q=0.05)

Table 1b.

Optimal ADT plans (s^*₂ = 1, q=0.1)

(1) δ₁ 또는 δ₂가 증가할수록, 또는 m이 감소할수록 s1*은 증가한다.

(2) q 또는 β_c가 증가할수록 s1*은 감소한다.

(3) δ₁이 증가할수록, 또는 m이 감소할수록 π1*은 증가한다.

(4) q 또는 β_c 이 증가할수록 일반적으로 π1*은 증가한다.

위 (1)의 경향성은 δ₁과 δ₂가 작을 경우, s1*=0이 되고 이것은 사용조건과 최대 스트레스 수준에서 가속열화시험을 수행하는 것이 최적이라는 것을 의미한다.

3.5 총 시료수 결정

가속열화시험에서 중요한 사항 중 하나인 시료수는 다음과 같은 조건을 만족하는 최소의 N 으로 결정할 수 있다.

여기서, ∊, ∅ 는 미리 주어지는 양의 상수이다. 식 (6)은 다시 다음과 같이 표현할 수 있다.

그러면, 식 (7)를 만족하는 N의 최소값은 근사적으로 다음과 같다 (Meeker and Escobar 1998).

여기서, z_(1+∅)/2는 표준정규분포의 (1+∅)/2 분위수이다.