<Table 2>와 <Table 3>에 2수준과 3수준에 대한 블록화 완전요인설계 또는 블록화 일부요인설계를 생성할 수 있는 블록생성인자 및 정의대비를 나열한다. 모든 주효과 및 이인자 교호작용효과를 추정가능토록 하는 설계에 대한 정의는 <Table 2>와 <Table 3>에서 방법 열의 “model”에 해당한다. 이는 앞 절의 SAS프로그램과 같이 proc fac-tex에서 model에 추정하고자 하는 모든 효과들을 명시한 상태에서 설계된 것이다. 즉, model에 모든 주효과와 모든 이인자 교호작용효과를 명시하여 실험점을 생성한 결과이다. 이때 블록화 완전요인설계는 각 수준의 속성수가 3부터 가능하며 임의로 5개까지 제한하여 실험점을 설계한다. 블록화 일부요인설계는 각 수준의 속성수가 5부터 가능하며 2수준은 2Vf-1, 3수준은 3Vg-1 에 대한 실험을 설계한다. 이를 바탕으로 <Table 4>에서는 2수준과 3수준의 속성수 f, g 가 1부터 5 사이의 값인 경우에 모든 이인자 교호작용효과를 추정할 수 있는 블록화 혼합설계의 블록수와 블록크기 즉, 응답자수와 문항수를 살펴볼 수 있다. 앞절에서 예를 든 18개의 블록을 갖는 2⁴ × 3⁴ 블록화 혼합설계인 경우는 <Table 2.(1)>과 <Table 3.(1)>의 속성수 4개의 model 방법이 결합된 것으로 각각의 블록생성인자는 <Table 1>과 동일하고, 그때의 블록개수와 블록크기는 2 × 9 = 18 개의 블록개수(응답자수)에 8 × 9 = 72 개의 블록크기를(문항수) 갖게 되어 <Table 4.(1)>에서 2수준 속성수 4개인 행과 3수준 속성수 4개인 열이 만나는 칸의 값인 72(18) 이다. 이와 같이, 모든 이인자 교호작용효과를 추정하는 실험설계인 경우에는 <Table 4.(1)>과 같이 2수준 속성수가 4개 이상 이고 3수준 속성수가 2개 이상이면 응답자가 응답해야할 설문 문항수가 70개가 넘어 응답자로부터 정확한 답변을 기대하기가 어렵게 된다. 이러한 경우, 블록 당 문항수를 줄이기 위해서는 블록의 수를 많게 해야 하기에 불가피하게 블록과 교락될 일부 이인자 교호작용효과를 허용해야 하고, 이 교호작용효과는 추정이 불가능하게 된다. 이 경우에 이인자 교호작용효과 중 일부의 추정 불가능을 허용하되 그것의 개수를 최소로 하는 블록화 혼합설계 방법을 다음과 같이 제안한다.

<Table 2>와 <Table 3>의 방법 열의 “minabs”행에는 2수준과 3수준에 대한 속성수별 블록화 완전요인설계 또는 블록화 일부요인설계를 생성할 수 있는 블록생성인자 및 정의대비를 나열한다. minabs는 SAS의 proc factex 에서 최소차수(minimum aberration)의 조건을 주는 옵션이다. 최소차수(minimum aberration)란, 블록생성인자 및 정의대비를 구성하는 교호작용효과들 중에서 차수가 가장 적은 교호작용효과의 개수가 최소가 되도록 실험설계를 구하는 것이다. 예를 들어, 2수준 속성수 4개에 대하여 블록개수가 2² 되도록 하는 블록생성인자가 b1=X1X2X3X4,b2=X3X4인 실험설계1에서 블록과 교락될 효과인 b₃ 는 X₁X₂이고, b₁ = X₁X₂X₃, b₂ = X₃X₄ 로 하는 실험설계2에서 b₃ 는 X₁X₂X₃ 이다. 실험설계1이나 실험설계2 모두 블록생성인자를 구성하는 교호작용효과의 차수가 가장 작은 것은 2이나 실험설계1은 추정 불가능한 이인자 교호작용효과의 개수가 2개이고 실험설계2는 1개가 되어 실험설계2가 최소차수(minimum aberration)에 해당된다. 최소차수의 실험설계의 장점은 추정 불가능한 2인자 교호작용효과들의 개수를 최소화 할 수 있다는 것이다.

주어진 블록의 개수에서 해상도를 최대로(SAS의 option: r=max) 하면서 최소차수(SAS의 option: minabs)가 되는 실험설계를 찾아 보자. 2수준 속성수 4개일 경우 아래와 같이 SAS 프로그램을 작성하면, <Table 2>의 2^f 완전요인설계에서 속성수 4개, 블록수 4개 행의 결과를 얻는다. 즉, 블록 크기가 4로 모든 이인자 교호작용효과가 추정 가능한 실험인 블록 크기 8보다 줄어들었지만 X₃X₄ 교호작용효과의 추정은 불가능해진다.

<Table 4.(1)>에서 문항수가 72개 이상인 경우에 최소차수 실험설계를 활용하여 문항수 36개의 일부 이인자 교호작용효과의 추정 불가능을 허용한 2^f × 3^g 혼합설계의 응답자수와 문항수가 <Table 4.(2)>에 주어진다. 여기서 추정 불가능한 이인자 교호작용효과가 있으므로 수준들에 속성들을 배치하는 과정에서 주의할 필요가 있다. 또한, <Table 2.(2)>와 <Table 3.(2)>에 주어진 일부요인설계를 활용하면, 응답자별 문항수는 완전요인설계인 <Table 4>와 동일하나, 응답자 수는 줄어들게 된다.

2와 3수준의 혼합설계일 경우 3수준 속성을 2수준 속성 2개로 표현하여 2수준 블록화 요인설계를 활용하여 설계하는 방법을 제안한다. 일반적으로 <Table 5>와 같이 3수준 Z₁를 2수준 속성 X₁, X₂로 변경할 수 있다. Z₁ = 1은 X₁ = X₂ = 1, Z₁ = 2은 X₁과 X₂가 서로 다른 수준일 경우 그리고 Z₁ = 3은 X₁ = X₂ = 2 인 경우로 정의할 수 있다. 혼합설계와 비교하면 모두 2수준으로 변경한 경우 속성의 수는 증가하나, <Table 6>과 같이 모든 이인자 교호작용효과가 추정가능하면서도 블록 크기가 줄어들어 설문지 문항수를 줄일 수 있는 효과가 발생된다. 이때, SAS의 proc factex에서 model 옵션에 추정해야 할 요인들을 나열하여 실험점을 찾는데, 3수준 속성을 2수준 속성 속성 2개로 정의한 2개 속성들 사이의 교호작용효과는 추정하지 않아도 되어 임용빈 (2015) 또는 <Table 2>의 실험설계와는 다를 수 있다. 또한, 2수준 블록화 완전요인설계는 총 실험수가 많아져 응답자의 수가 많아지게 됨으로 총 실험수를 줄여 응답자수도 줄일 수 있는 2Vf-2 블록화 일부요인설계도 제안하고자 한다. <Table 6>을 보면 최소 블록크기 즉 설문지 문항수는 최소 8개에서 16개 까지 가능하다.

2와 3수준의 혼합설계에서 더미 수준 기법을 활용하여 2수준 속성을 3수준 속성으로 표현하여 3수준 블록화 요인설계를 활용하는 방법을 제안한다. 즉, 모두 3수준인 것처럼 실험을 설계하되, 원래 2수준에 대응되는 3수준 속성의 수준 (1,2,3)를 (1,2,2)로 변경하여 각 속성의 수준 결합에 따라서 설문 문항을 작성한다. 속성수는 혼합설계와 동일하고 모든 이인자 교호작용효과까지 추정가능토록 하는 블록화 완전요인설계를 할 수 있다. <Table 7>과 같이 응답자별 설문 문항수는 최소 9개에서 27개이며, 응답자의 수를 줄이기 위해 3Vg-2 블록화 일부요인설계를 고려할 수도 있다.

<Table 8>과 같이 3수준에 대한 블록생성인자 b1 = Z₁Z₂Z₃로 블록화 완전요인설계를 한 후 2수준과 결합하면 응답자 3명 각각에 서로 다른 18개의 설문 문항을 설계할 수 있다. 이를 모두 합쳐 분석하면 블록화 완전요인설계 실험자료의 분석과 동일해 지며, 주효과 및 이인자 교호작용효과까지 모두 추정가능하다. <Figure 1>은 Design Expert 10의 반정규 확률그림으로 주효과 X₁, Z₁, Z₂와 이인자 교호작용효과 X₁Z₁를 유의한 효과로 선택할 수 있다. 이는 <Equation (1)>에서 가정한 유의한 효과들과 일치한다.

선별된 X₁, Z₁, Z₂, X₁Z₁ 효과에 대한 추정치로 주효과 X₁, Z₁, Z₂ 속성들의 수준 결합에 대해서 평균 선호도의 추정치인 ŷ 를 최대로 하는 컨셉 최적조건을 찾으면 X₁₍₁₎Z₁₍₃₎Z₂₍₃₎이고, 이때의 ŷ = 8.5가 된다. 이는 이론적인 컨셉 최적조건과 일치한 결과이다.

3수준 속성을 2수준 속성 2개로 표현하여 3수준 3개의 속성은 2수준 6개의 속성으로 대체된다. 6개의 2수준 속성을 X₂부터 X₇로 표시할 때에, 3수준 속성인 Z₁은 X₂와 X₃, Z₂는 X₄와 X₅ 그리고 Z₃는 X₆과 X₇으로 표현된다. 주효과 및 모든 이인자 교호작용효과가 추정 가능해야하나, 동일한 3수준 속성을 표현하는 2수준 속성들 간의 교호작용효과인 X₂X₃, X₄X₅, X₆X₇ 교호작용효과 추정은 관심이 없기에 제외하도록 한다. 최소한의 응답자 수가 되도록 블록화 일부요인설계를 하면, <Table 8>과 같이 8명의 응답자가 8개의 설문 문항에 답하면 된다. 혼합설계에 비해 응답자수는 증가하였으나, 설문 문항수는 줄었다.

소비자 선호도를 시뮬레이션 모형으로 생성하기 위해 가정한 효과의 크기는 <Table 9>와 동일하며 이를 2수준 속성을 이용해서 표현하면 <Equation (2)>와 같이 정의할 수 있다. 예를 들어, z₁₍₁₎ = −1.5은 2수준으로 표현하면 X₂, X₃의 수준값이 모두 1 일 때, z₁₍₃₎ = 1.5은 X₂, X₃가 모두 2 일 때 그리고 z₁₍₂₎ = 0은 X₂와 X₃의 수준값이 서로 다를 때이다.

평균 선호도 점수를 최대로 하는 이론적인 컨셉 최적조건은 X₁₍₁₎X₂₍₂₎X₃₍₂₎X₄₍₂₎X₅₍₂₎이고, 이는 혼합설계 속성으로 표현하면 X₁₍₁₎Z₁₍₃₎Z₂₍₃₎가 된다. <Figure 2>의 Design Expert 10의 반정규 확률그림을 통해 주효과 X₁, X₂, X₃, X₄, X₅와 이인자 교호작용효과 X₁X₂, X₁X₃가 유의한 효과로 선택될 수 있고, 이는 혼합설계 속성에서 X₁, Z₁, Z₂, X₁Z₁가 유의하게 선택 되어진 것과 동일한 것이다. (참고로, <Figure 2>에서 X₄ 아래에 있는 속성은 X₂X₃X₇ 삼인자 교호작용으로 효과 추정의 대상이 아니다.)

선별된 속성 X₁, X₂, X₃, X₄, X₅ 들의 모든 가능한 수준 결합에 대해서 선별된 효과를 추정치로 대체하여 얻어진 평균 선호도의 추정치인 ŷ를 최대로 하는 컨셉 최적조건은 X₁₍₁₎X₂₍₂₎X₃₍₂₎X₄₍₂₎X₅₍₂₎이고, 이는 혼합설계의 X₁₍₁₎Z₁₍₃₎Z₂₍₃₎으로 이론적인 컨셉 최적조건과 일치한 결과이다.

2수준 속성 X₁을 3수준 속성으로 표현하여 속성들이 모두 3수준인 블록화 3⁴ 완전요인설계를 한다. 4개 속성의 주효과 및 모든 이인자 교호작용효과가 추정 가능한 블록화 완전요인설계를 하면 <Table 8>과 같이 9명의 응답자에 9개의 설문 문항을 설계할 수 있다. 혼합설계에 비해서는 설문 문항이 절반 정도 감소하였으나, 모두 2수준으로 변경하였을 때 보다는 응답자 수 1명 증가, 설문 문항도 1문항 증가하였다. 실험점 생성 후, 속성 X₁에 대해서는 대응되는 속성의 3수준인 (1,2,3)를 (1,2,2)로 변경하여 설문 문항을 만들고 소비자 선호도를 시뮬레이션 모형으로 생성하기 위해 가정한 효과의 크기는 <Table 9>와 동일하다. 물론, 평균 선호도 점수를 최대로 하는 이론적인 컨셉 최적조건도 X₁₍₁₎Z₁₍₃₎Z₂₍₃₎가 된다. <Figure 3>과 같이 Design Expert 10의 반정규 확률그림에서 선택된 유의한 효과는 주효과 X₁, Z₁, Z₂와 이인자 교호작용효과 X₁Z₁이다. 이는 <Equation (1)>에서 가정한 유의한 효과들과 일치한다.

선별된 속성들인 X₁, Z₁, Z₂ 의 모든 가능한 수준 결합에서 평균 선호도의 추정치인 ŷ를 최대로 하는 컨셉 최적조건은 이론적인 것과 일치한 X₁₍₁₎Z₁₍₃₎Z₂₍₃₎가 된다.