직접적분법을 이용한 주파수 응답해석에서는 복수 대수학을 이용하여 연성된 행렬 방정식의 집합을 풀어 이산화된 가진 주파수에 대해서 구조물의 거동을 계산한다. 조화 가진이 작용하는 감쇠 강제 진동에 대한 운동방정식은 식(1)과 같다.

여기에서 M은 질량(Mass), C는 감쇠(damping), K는 강성(stiffness), P(w)는 외력(force)을 의미한다.

변위를 의미하는 x(t)를 식(2)와 같이 가정한다.

여기서 u(w)는 복소 변위 벡터이다. 식(2)에 대하여 미분을 하여 식(1)의 운동방정식에 대입하여 정리하면 식(3)과 같다.

위의 운동방정식에 가진 주파수 w를 대입하면 복소 대수학을 이용하여 계산할 수 있다.

모드중첩법을 이용한 주파수 응답해석은 운동방정식을 축약시키고, 비연성화 시키기 위해 구조물의 모드를 이용하며, 변위를 식(4)와 같이 가정할 수 있다.

여기서 모드행렬 [ϕ]=[ϕ₁, ϕ₂, ...ϕ_n]이며, ϕ_i는 번째 정규 모드형상(normal mode shape)이다.

식(4)를 식(1)의 운동방정식에 대입하면 식(5)와 같다.

위의 식(5)를 비연성화 시키기 위해서 양변에 ϕiT 를 곱하면 식(6)과 같다.

c_i를 모달 비례감쇠비(modal proportional damping ratio)라고하면, 각 모드의 직교성에 의해 식(7)과 같이 정리된다.

식(7)에서 얻은 ξ_i(w)를 식(4)에 대입하면, 절점의 변위 x(t)를 계산할 수 있다.

전술한 직접적분법과 모드중첩법은 일반적으로 다음과 같은 장·단점을 가지고 있다. 직접적분법은 운동방정식을 직접 적분을 수행하므로 해석 시간의 소모가 크다고 할 수 있다. 따라서, 해석 수행시 시간단계(time step)의 선정이 중요하고 비교적 소규모 해석 모델에 적합하며, 해석 시간이 오래 걸리는 편이나 상대적으로 해석의 정확도는 높은 편이다. 반면, 모드중첩법은 모드형상을 조합하여 해석을 수행하므로 직접적분법에 비하여 해석 시간이 짧으나 모드수에 따라 해석의 정확도가 영향을 받을 수 있기 때문에 모드수의 선정이 매우 중요하다고 할 수 있다. 일반적으로 대규모 해석모델에 적합하며, 해의 정확도는 직접적분법에 비해서는 다소 낮은 편이나 모드수를 늘려 전체 모드수를 적용하는 경우에는 상당히 정확한 해를 얻을 수 있으므로 해석시간의 단축을 위해서 실제로 주파수 응답해석 수행시 많이 사용되는 기법이라고 할 수 있다. 따라서, 본 연구에서는 KAAV용 APU의 구조 안전성을 확인하기 위하여 상용 유한요소해석 프로그램(MIDAS.NFX)의 모드중첩법에 기반한 모듈을 활용하여 구조해석을 수행하였다.

<Figure 1>은 엔진, 발전기, 배전함을 제외한 APU의 설계 형상과 주구조물에 대해 나타낸다. 회색은 기존의 재질을 그대로 사용한 부분이며, 방진고무를 제외한 그 외의 색은 알루미늄 계열로 바뀐 부분이다.

APU의 유류통에 채워진 유류의 양에 따라 구조물의 응답이 달라질 수 있다. 따라서, 본 연구에서는 APU 구조물의 전체 무게(140 kg)에 12 L 연료통 2 개(30.8 kg)가 탑재된 조건을 가장 가혹한 조건으로 가정하여 유한요소해석 수행시 적용하였다.

회전체나 엔진과 같이 주기적인 가진이 발생하는 구조물은 고유 진동수 영역을 회피하여 공진 현상이 발생하지 않도록 설계해야 한다. 따라서, 본 연구에서도 엔진의 작동에 의한 가진 조건을 가정하여 APU 구조물에 대한 유한요소해석을 통해 공진 발생 가능성 등에 대해서 검토해 보았다. 본 연구에서는 일반적인 엔진의 작용 조건을 3,600 RPM으로 작동시 60 Hz의 가진이 발생하는 것으로 가정하였고, <Figure 2>와 같이 IRD Mechanalysis Chart의 일반 수평 회전기계에 대한 진동속도 및 가속도 시베리티(심각도) 차트(IRD Mechanalysis, 1998)를 이용하였다. 3,600 RPM에서 보통(FAIR)의 회전기계로 가정하였을 경우 가속도는 2G를 조건으로 해석을 수행 하였다.

APU 주파수응답 해석에는 <Figure 3>에 붉은색 원으로 표시된 바와 같이 엔진 부분에 집중질량을 부여하고 집중질량에 2G 가속도를 각각 X, Y, Z 축 3가지 방향으로 적용하였다. 선형정적해석, 모드해석 그리고 주파수 응답해석에서의 구속조건은 모두 동일하다. 실제 APU의 작동 조건을 가정하여 <Figure 4>와 같이 한쪽 바퀴는 모든 축을 구속시키고, 반대쪽 바퀴는 Y, Z 축을 구속시키는 조건을 적용하였다. 하중을 지지할 목적인 아닌 구조물의 경우에는 생략을 하였으며 하중을 지지하는 구조물에 대해서만 유한요소를 생성하여 유한요소 모델을 구성하였다.

APU의 구조물의 주요 구성품에 대한 재료 물성 정보를 <Table 1>에 정리하여 나타내었다. 이를 바탕으로 탄성계수, 프아송비, 밀도 등 동적 유한요소해석 수행을 위한 주요 재료 물성을 유한요소해석 프로그램에 입력값으로 활용하여 유한요소해석을 수행하였다.

일반적으로 구조해석의 수행은 작용하는 하중에 따라 발생하는 변형과 내력에 따른 응력 예측하기 위함이며, 본 연구에서 선형정적해석은 유류통이 장착되어 있는 APU의 자중에 따라 의한 변형과 응력이 얼마만큼 발생되는지를 알아보기 위해 수행되었다. 구조물의 변형 확인을 위해 일반적으로 활용되는 물리량 변위나 변형률이 있으며, 내력 발생을 확인하기 위해서는 응력을 주로 많이 활용한다. 응력은 텐서(tensor) 물리량으로써 구조 안전성을 확인하기 위해 주로 활용되는 응력으로는 Von-Mises 응력과 주응력 등이 있다. 본 연구에서는 하중 작용에 의한 변형과 내력 발생에 따른 응력을 예측하기 위하여 구조해석을 수행하였고, 이러한 사항에 대한 확인을 위한 물리량의 척도로써 최대 변위와 Von-Mises 응력을 선정하여 확인하였다. <Figure 5>는 APU 구조물의 변위를 나타내며, <Figure 6>은 Von-Mises 응력을 나타낸다. 해석결과 최대변위는 1.74 mm, 최대 응력은 49.87 MPa이다.

모드해석은 공진영역에서의 주파수 특성과 모드형상을 검토하기 위한 것이 주된 목적으로 앞 절에서 기술하였듯이 60 Hz가 가진 주파수이기 때문에 모드해석에서는 100 Hz까지의 모드를 살펴보았다. 모드형상은 방진고무의 강성이 다른 부품에 비하여 상대적으로 작다. 이에 따라 저차모드가 발생함을 확인할 수 있다. 모드에 따른 고유 진동수 결과는 <Figure 7>과 같다.

APU의 모드해석 결과 <Figure 8>에 나타낸 바와 같이 1차 고유진동수는 9.40 Hz에서 엔진과 발전기가 장착된 부분에서 Y방향으로 굽힘모드가 발생되었고, 2차 고유진동수는 <Figure 9>과 같이 10.66 Hz에서 엔진 및 발전기가 장착된 부분에서 X축 방향으로 굽힘모드가 발생되었음을 확인할 수 있다. 또한, 3차 고유 진동수는 <Figure 10>과 같이 14.44 Hz에서 엔진 및 발전기가 장착된 부분에서 Z축 기준으로 비틀림모드가 발생함을 예측할 수 있었다. 따라서, 이와 같이 각 모드별 고유진동수에 따른 구조물의 형상 변형 형태를 수치적으로 예측해볼 수 있었다.

각 축에 대한 응력과 변위들은 자중에 대한 선형정적해석과 각 축 방향에 대한 주파수응답해석결과를 선형 조합하였다. <Figure 11>은 주파수응답해석에 대한 최대변위 그래프를 나타내며, <Figure 12>는 주파수응답해석에 대한 최대응력 그래프를 나타낸다. X축 방향의 경우 최대변위와 최대응력은 1차 모드인 9.4 Hz에서 나타났으며, Y축 방향의 경우는 최대변위와 최대응력이 12 Hz 부근에서 나타났다. Z축 방향의 경우 변위는 10 Hz, 응력은 9.4 Hz에서 나타났다. 일반적으로 저차모드에서는 큰 응력과 변위가 발생되었고, 엔진의 가진 주파수인 60 Hz부근에서는 공진이 발생되지 않음을 확인할 수 있다.

X축 방향의 가진에 대한 결과는 <Figure 13>과 같이 최대변위는 6.34 mm이며 최대응력은 50.69 MPa로 나타났다.

Y축 방향의 가진에 대한 결과는 <Figure 14>와 같이 최대변위는 6.38 mm이고, 최대응력은 72.01 MPa로 나타났다.

Z축 방향의 가진 결과는 <Figure 15>와 같이 최대변위는 11.18 mm이고 최대응력은 같이 113.39 MPa로 나타났다.

본 연구에서는 APU 구조물 경량화를 위한 주파수응답 해석을 수행하였으며, 그 결과는 <Table 2>와 같다. 일반적으로 기계설계의 안전계수(Safety Factor)는 대상장비나 적용분야에 따라 상이할 수 있고 계산방식이나 조건에 따라서 변동이 가능한 측면이 있지만, 항공우주분야의 경우는 안전계수가 1에 가까우며 원자력발전소와 같은 구조물은 3이상의 안전계수를 일반적으로 사용하는 것으로 알려져 있다(Hibbeler, 2003). 아울러, 특정 분야의 안전계수 설정 가이드라인은 설계표준 및 지침이나 엔지니어링 핸드북 등에 안내되어 있으며, 국방분야의 일반적인 차체 구조물의 안전계수는 1.5로 알려져 있다(U.S. Army Materials Command, 1970). 따라서, <Table 2>에 명시된 바와 같이 유한요소해석을 바탕으로 예측된 안전계수가 모두 2 이상의 값으로 예측되었으므로 일반적인 국방분야 차체 구조물의 안전계수인 1.5를 상회하기 때문에 구조적 안전성이 확보되었음을 확인할 수 있었다.