전통적 품질관리에서 관리도는 어떠한 프로세스가 통계적으로 제어된 상태에 있는지 아닌지를 감시하는 데에 쓰여 왔다. 일반적으로 관리도는 매 시간 단위마다 주어진 정보를 바탕으로 통계량을 계산하고, 그 계산된 통계량이 정해진 관리한계를 넘어서면 그에 해당하는 프로세스가 잠재적 통제 불능 상태에 빠졌을 수 있다는 것을 알리는 경보를 울린다. 이러한 관리도의 주목적은 통제 불능 상태로 변한 프로세스를 빨리 감지해 내는 것에 있으며, 관리도의 성능 평가는 ARL0와 ARL1을 기반으로 이루어져왔다. ARL0는 프로세스가 정상 통제 상태 아래에 있을 때 오경보를 울릴 때 까지 걸리는 평균 정보 추출 횟수(즉, 오경보를 울릴 때까지 소요되는 평균 단위 시간)를 대표하며, ARL1은 프로세스가 실제로 통제 불능 상태에 있을 때 경보를 울리는 데까지 걸리는 평균 정보 추출 횟수(즉, 경보를 울릴 때까지 소요되는 평균 단위 시간)를 대표한다(Montgomery 2009). 일반적으로 관리도는 정해진 특정 ARL0를 달성할 수 있도록 관리한계를 미리 설정하고, 그 관리한계를 적용하였을 때 더 작은 ARL1을 달성할수록 더 좋은 탐지 성능을 가진 것으로 간주된다.

시공간 감시를 위한 관리도는 하나의 프로세스를 관측하고 감시하는 것만이 아니라 여러 지역의 프로세스를 동시에 관측하고 감시하는 것을 가능하게 하는 관리도로, 제조 공정에서의 이미지 분석을 이용한 불량 탐지, 역학에서의 질병 전파 범위 탐지 등의 용도로 사용되어 왔다 (He et al. 2014, Lee et al. 2014, 2015). Lawson (2007), Sonesson and Bock(2003), Tsui et al. (2008), 그리고 Woodall (2006)은 역학을 위한 다양한 통계적 시공간 감시 방법론들을 소개하고 그를 비교분석하였다. (여기에서 언급된 대부분의 방법론은 기초가 되는 자료가 정규분포, 혹은 포아송 분포를 따른다고 가정하고 있다.) Fricker et al. (2008)은 한 가지 누적합 관리도, 두 가지 종류의 슈하트 관리도, 그리고 한 가지 가중이동평균 관리도를 선택하여 여러 환경에서 시험한 후 누적합 관리도가 다른 관리도에 비해 더 뛰어나다고 평가하였으며, Han et al. (2010) 역시 누적합 관리도와 지수가중이동평균 관리도, 검색 통계량을 이용한 관리도의 ARL1 성능을 비교하고 누적합 관리도와 지수가중평균 관리도가 검색 통계량을 이용한 관리도보다 그 탐지 성능이 뛰어나다고 발표하였다. 이렇게, 누적합 관리도는 프로세스의 작은 변화에도 민감하게 반응하여 프로세스의 상태변화를 빠르게 알아차릴 수 있어 많은 학자들에 의해 연구되어 왔으며, 특히 자료에 지역적 상관관계가 강하게 존재하는 경우에는 여러 개의 단변량 누적합 관리도를 운영하는 것보다 하나의 다변량 누적합(MCUSUM) 관리도를 운영하는 것이 ARL1 면에서 더 뛰어난 성과를 보인다고 알려져있다(Woodall and Ncube 1985, Rogerson and Yamada 2004).

Jiang et al. (2011)은 지역적 상관관계를 고려한 시공간 탐지 방법론으로써 원형의 지역 군집을 감시 대상으로 하는 새로운 다변량 누적합 관리도를 제안하였다. 이 관리도는 관측되는 자료가 다변량 정규분포를 따른다고 가정하고 목표로 하는 ARL0을 달성할 수 있는 관리한계를 찾아내기 위해 시뮬레이션을 이용하는데, 환경이 자주 바뀌거나 관측 대상 지역의 수가 매우 많은 경우에는 이 시뮬레이션에 오랜 시간과 노력이 소모된다. 이러한 단점을 극복하기 위해 Lee et al. (2014)는 Jiang et al. (2011)이 제안한 통계량을 통계적 성질에 따라 여러 개로 나누고 나뉘어진 통계량 각각에 시뮬레이션 대신 간단한 수치적 계산을 통해 얻어진 관리한계를 부여하는 Separated-MCUSUM (SMCUSUM) 관리도를 개발하였고, 이 SMCUSUM 관리도는 일정 범위 안에서 Jiang et al. (2011)과 근사한 시간적 탐지 성과를 보이는 것으로 알려져 있다. SMCUSUM 관리도는 간편한 관리한계 추정 식을 제공하지만, 자료가 다변량 정규분포를 따르거나 다변량 정규분포로 근사할 수 있는 분포를 따를 때에만 사용이 가능하다. 따라서 Lee et al. (2015)은 자료의 기저 분포가 명확히 알려져 있지 않은 경우에도 안정적으로 사용할 수 있는 Robust-MCUSUM (RMCUSUM) 관리도를 개발하였다.

여기서 한 가지 주목해야 할 점은 현재까지 발표된 많은 관련 논문 안에서 시공간 감시를 위해 설계된 관리도의 성능이 주로 ARL1면에서만 보고되고 평가되어 왔다는 것이다. 하지만 시간과 공간을 모두 감시하기 위한 관리도에서 단순히 시간적 탐지 성과(즉, 얼마나 빨리 프로세스의 변화를 찾아내는지)만을 기반으로 어떠한 관리도가 다른 관리도보다 더 뛰어나거나 부족하다고 평가하는 것은 충분치 않은 일이며, 따라서 시간적 탐지 성과뿐만이 아닌 공간적 탐지 성과(즉, 변화가 일어난 지역을 얼마나 정확히 찾아내는지)에 대한 평가도 반드시 함께 이루어져야할 것이다.

SMCUSUM 관리도와 RMCUSUM 관리도는 둘 모두 시공간 감시를 목적으로 하는 다변량 누적합 관리도이면서 (사용 가능한 환경 조건은 다르지만) 같은 환경 아래에서는 비슷하게 뛰어난 ARL1 성과를 내는 것으로 알려져 있다. 허나 본 연구에서는 시간적 탐지 성과뿐만이 아닌 공간적 탐지 성과를 추가로 고려하여 두 관리도를 다각도로 비교 분석하고, 시간적 탐지 성과만을 비교하여 관리도를 평가하는 것이 과연 타당한 일인가에 대해 보다 심도있게 고찰하고자 한다.

본 장에서는 각각 SMCUSUM과 RMCUSUM으로 이름 붙여진 두 가지 다변량 누적합 관리도를 소개한다. 본래 전염성이 강한 질병의 전파, 해충 번식에 의한 농작물 피해 등 하나의 오염원의 발생에 따른 주변의 피해를 탐지하기 위한 목적으로 설계된 두 관리도를 본격적으로 소개하기에 앞서, 먼저 두 관리도 모두에 적용되는 배경 문제와 가정, 공통적으로 쓰이는 기호에 대해 간략히 설명한다 (Lee et al. 2014, 2015).

관측 대상이 되는 총 공간 영역은 사각형 모양의p = M × N 개 지역으로 가정한다. 각 지역 c에서는 매 정해진 시각 t에 관측치 자료가 생성되며, 이 자료는 각 지역의 프로세스가 정상적으로 통제되고 있다는 가정 아래 표준화되어 x_t = (x_t1, x_t2, …, x_tp)‘ 라는 벡터로써 보고된다. 즉, x₁₅ 는 첫 번째 단위 시각에 5번 지역에서 생성된 자료가 표준화된 값을 이른다. x_t 는 평균 벡터 μ 와 분산-공분산 행렬 Σ를 가지는 어떠한 확률 밀도 함수를 따르며, 이때 이 Σ는 시간이나 통제 상태에 영향 받지 않는다고 가정한다. x_t가 표준화된 자료에 기인하고 있기에, 정상 통제 상태 하에서의. μ는 0 벡터와 같다. 알려지지 않은 어떤 시점 ν에 어떤 지역의 프로세스가 통제 불능 상태가 되면, 평균 벡터. μ는 0 벡터가 아닌 다른 어떤 벡터로 바뀌게 되고, SMCUSUM과 RMCUSUM 관리도는 둘 모두 이러한 평균 벡터의 변화를 가능한 빨리 그리고 정확히 찾아내는 것을 목표로 한다.

원칙상으로는 관측 대상이 되는 p개의 지역 중 통제 불능 상태에 빠지는 지역의 위치, 개수 및 형태에 아무런 제약도 존재하지 않으나, 본 연구에서 고려하는 두 관리도는 Jiang et al. (2011)의 연구를 바탕으로 편의상 오염원으로 인한 피해가 원형의 군집 형태로 일어날 것임을 가정한다. 이 원형의 군집은 중심지역 c와 반지름 r에 의해 정의되는데, 군집 O^{c, r} 은 중심지역 c로부터 유클리디언 거리 기준으로 r이하만큼 떨어져 있는 모든 지역을 원소로 포함하는 집합을 뜻한다. <Figure 1>은 p=7×7=49개 지역 고려 시 각 지역을 2차원 평면상의 좌표로 표현한 것으로, 이 좌표에 따르면 지역 25와 지역 32 사이의 유클리디언 거리는 1, 지역 25와 지역 33 사이의 거리는 2임을 알 수 있다. 비슷한 원리로, 이 예에서 군집 O^25,1 은 {18, 24, 25, 26, 32}로 정의됨을 알 수 있다.

피해의 범위와 군집의 크기는 r로 대변될 수 있다. 피해 범위의 예상이 가능한 경우에 r은 하나의 값으로 고정될 수 있고, 정확한 피해 범위를 모른 채 여러 가지 크기의 군집을 모두 감시하여야 하는 경우에 r은 다양한 값을 가질 수 있도록 설정될 수 있다. 이 r이 가질 수 있는 값들의 집합은 R로 정의하며, <Figure 1>의 예에서 R = {0}인 경우에 감시해야할 대상 군집의 개수는 49개, R = {0, 1}인 경우에 감시해야할 군집의 개수는 49×2=98개로, R에 포함된 값의 개수가 늘어날수록 감시 대상이 되는 군집의 개수 또한 늘어나게 된다.

특정 군집 O^{c, r} 에 피해가 발생하여 통제 불능 상태가 된다는 것은 군집 외 지역은 정상인 상태에서 군집에 포함된 지역의 자료 평균이 일정하게 크기 δ > 0 만큼씩 증가하는 것으로 가정한다. 이때 변화된 평균 벡터를 μ_{c, r}로 정의하며 이 때μ_{c, r} 의 j번째 원소는 j ∈O^{c, r}인 경우에는 δ, 그 외의 경우에는 0이 된다. 지역 간의 상관관계는 지역 간의 유클리디언 거리와 역의 관계가 있으며 이는 ρ라는 모수를 이용하여 표현된다고 가정한다. 따라서 군집들 사이에도 일정 상관관계가 존재할 수 있다.

지금껏 SMCUSUM 관리도와 RMCUSUM 관리도를 포함한 많은 시공간 탐지를 위한 관리도들은 얼마나 빨리 통제 불능 상태에 빠진 군집을 탐지해낼 수 있는지에 대해서만 집중 비교되어 왔다. 그 시간적 성과 기준으로는 ARL1이 사용되어 왔고 이 기준에 따르면, RMCUSUM 관리도는 (그 범용성에 대한 이점을 제외하면) ARL 성과 면에 있어서는 SMCUSUM 관리도와 크게 차이가 나지 않을 것으로 기대된다(Lee et al., 2015). 허나, 이렇게 이상 상태가 탐지 될 때까지의 시간을 근거로 하는 기준은 시간과 공간을 모두 탐지 해낼 목적으로 설계된 관리도의 성과 비교 기준으로 충분하다고 할 수 없으므로, 본 연구에서는 SMCUSUM과 RMCUSUM 관리도를 다각도로 실험하고, 그 시간적 탐지 신속성뿐만 아니라 공간적 탐지 정확성을 종합적으로 비교하고 분석한다.

지금까지 연구되어 온 많은 관리도는 ARL1값을 기반으로 그 성능을 평가 받아왔다. 하지만 이렇게 탐지 신속성만을 겨루는 것은 시공간 탐지를 위해 설계된 관리도의 비교에는 적합지 않다. 시공간 탐지를 위한 관리도에서는 1) 얼마나 빨리 상태의 변화를 탐지해 낼 수 있는지, 그리고 2) 얼마나 정확하게 상태의 변화를 탐지해 낼 수 있는지가 모두 중요하며, 따라서 이러한 관리도를 비교하거나 평가하기 위해서는 탐지의 신속성과 탐지의 정확성 모두가 함께 종합적으로 분석되어야만 한다.

본 논문에서는 SMCUSUM과 RMCUSUM으로 이름 붙여진 두 개의 다변량 누적합 관리도를 예로 하여 그 탐지의 신속성과 정확성 모두를 실험하고, 그 성능을 비교 분석하였다. 기존의 다른 논문들처럼 ARL1 값만을 근거로 한다면 RMCUSUM 관리도는 SMCUSUM에 비해 그 탐지 성능이 매우 뛰어나다고는 평가할 수 없다. 그러나 RMCUSUM 관리도의 탐지 정확성은 SMCUSUM 관리도의 정확성에 비해 상당히 높으며, 여러 환경의 변화에도 안정적인 탐지 성과를 낸다는 것을 알 수 있다. 따라서 시간적 탐지 성과뿐만 아니라 공간적 탐지 성과를 함께 생각하면 RMCUSUM 관리도는 SMCUSUM에 비해 더 뛰어난 성능을 가진다고 평할 수 있으며, RMCUSUM 관리도는 SMCUSUM 관리도에 비해 초기 설정이 오래 걸리는 대신 사용 가능 환경에 대한 제약이 적어 훨씬 다양한 환경에 적용 가능하므로, 분초를 다투는 급박한 초기 관리한계 설정이 요구되는 경우가 아니라면 RMCUSUM 관리도의 사용을 추천하는 바이다.

SMCUSUM과 RMCUSUM 관리도는 감시 대상이 되는 전체 지역 내에서 하나의 원형 통제 불능 군집만이 생길 수 있으며, 이때 통제 불능 지역 자료의 평균은 일정하게 증가한다는 것을 가정하였다. 따라서 여러 비정형 통제 불능 군집이 나타나거나 통제 불능 지역 자료의 평균이 일정하게 증가하지 않는 경우에는 본 연구와 상이한 결과가 나올 수 있을 것으로 판단되며, 이러한 다양한 상황과 제약을 고려할 수 있는 관리도는 이 후 따로 연구될 필요가 있다. 또한 나아가 자료의 지역적 상관관계만이 아닌 시간적 상관관계도 함께 고려할 수 있는 시공간 탐지 기법이 개발 된다면 후에 시공간 탐지 관리도를 연구하거나 이용하고자 하는 학자 및 사용자에게 더욱 큰 도움이 될 수 있을 것으로 기대된다.

마지막으로, 본 연구에서는 시공간 감시에 적합하다고 알려진 두 다변량 누적합 관리도를 예로 들어 탐지 신속성만을 기준으로 관리도의 탐지 성능을 평가하는 것은 타당하지 못함을 보였다. 허나 대부분의 다른 시공간 탐지 기법들 또한 지금껏 시간적 탐지 성과만을 기준으로 비교되어온 만큼, 기존에 연구되어왔던 시공간 감시 방법론들의 성능을 전반적으로 재검토 및 재평가하는 것도 의미있는 후속 연구가 될 수 있음을 밝혀둔다.