2단 계층구조에서는 먼저 준고장(sub-failure: 직접적인 하위고장원인)의 발생이 선행되어야 고장이 발생할 수 있으며 준고장은 보다 근본적인 원인(root cause)이 선행되어야 발생할 수 있다. 예를 들어, 펌프시스템 고장의 약 40%를 점하는 샤프트 씰(mechanical shaft seal) 고장의 한 유형인 샤프트 씰 손상에 의한 펌핑 매체가 누출되는 한 과정을 살펴보자.(Grundfos Management A/S, 2009) 고장원인 중의 하나로서 부적절한 윤활유 사용이나 원활하지 못한 윤활유 공급(근본 원인)이 지속되면 이로 인해 발생되는 마찰열에 의한 고온과 냉각에 의한 저온의 주기적인 스트레스가 계속 가해짐으로써 씰 표면에 미세한 균열(준 고장)이 생기게 된다. 아무런 조치 없이 이와 같은 상태가 유지되면 지속적인 스트레스로 균열이 점차 성장하여 마침내 샤프트 씰이 손상(최종 고장)되게 된다. 펌프가 온전한 기능을 못하는 상태에서 계속 사용하면 펌핑 매체의 누출로 시간이 경과할수록 심각한 결과를 초래하게 된다. 이와 같은 고장의 발생과정은 근본원인의 발생과 그에 따른 준고장 및 실제고장 발생까지의 경과시간으로 묘사할 수 있다. 근본원인은 준고장이나 실제 고장이 발생하기 전에 검출되어 고쳐질 수도 있고, 준고장은 발생했으나 실제고장은 발생하기 전에 검출되거나 혹은 실제 고장이 발생한 후에 검출될 수도 있다. Figure 1은 이와 같은 상황을 경우별로 나누어 도시한 것이다. 그림에서 Case A는 근본원인이 준고장 발생 전에 검출된 경우, Case B는 준고장은 발생했으나 실제 고장이 발생하기 전에 검출된 경우, Case C는 실제 고장이 발생된 후에 검출된 경우를 각각 나타내고 있다.

고장원인들이 계층적 인과구조를 하고 있다면 어떤 고장이든 반드시 근본원인과 준고장이 먼저 발생해야만 발생할 수 있을 것이다. 또한 일반적으로 고장이든 원인이든 발생과 검출 사이에는 극히 짧은 순간이든 상당히 긴 간격이든 지연시간이 있게 될 것이다. 만약 근본 고장원인이 준고장이 발생하기 전에 검출되었다면 오직 문제의 근본원인제거 및 수정에 요구되는 비용만 지출하게 될 것이다. 그러나 준고장이나 실제고장이 발생한 후에는 문제의 근본원인을 제거하는 비용뿐만 아니라 고장에 따른 영향을 처리하는데 소요되는 비용을 감당해야 하므로 훨씬 더 심각한 손실을 초래하게 될 것이다. 따라서 본 연구에서는 이와 같은 상황을 단순화하여 모형화하기 위해 다음 사항을 가정한다.

i) 어떤 고장이든 그에 관계된 준고장 혹은 근본원인이 먼저 발생해야만 발생할 수 있다.

ii) 고장영향의 심각도는 고장 혹은 원인의 발생과 검출 사이의 시간간격의 길이에 의존한다.

iii) 근본원인의 발생은 동질적 포아송 과정을 따른다.

iv) 발생시간과 검출시간은 지수분포를 따른다.

v) 문제원인을 제거하고 조치하는 시간은 무시할 수 있다.

본 논문에서 사용되는 기호들은 다음과 같다.

τ_ijk: 고장 및 준고장 에 관련된 근본원인 의 발생률, 단 i = 1,2,…,l, j= 1,2,…,m_i, k=1,2,…,n_ij.

T_ijk: 고장 i에 대한 준고장 j의 발생과 근본원인 k의 발생 사이의 시간간격

λ_ijk: 고장 i의 근본원인 k가 발생한 이후 준고장 j의 발생률

U_ij: 고장 i의 발생과 준고장 j의 발생 사이의 시간간격

α_ij: 준고장 j가 발생한 이후 고장 i의 발생률

D_ijk: 고장 i및 그에 대한 준고장 j의 근본원인 k를 검출하는데 걸리는 시간

μ_ijk: 고장 i및 그에 대한 준고장 j의 근본원인 k의 검출률

a_ijk: 고장 i및 그에 대한 준고장 j의 근본원인 k를 조치하는 데 관련된 심각도의 상수 부분

b_ij: 고장 i에 대한 준고장 j에 관련된 심각도 계수

c_i: 고장 i의 발생 이후 경과시간에 관련된 심각도 계수

S_ijk: 고장 i및 준고장 j의 근본원인 k에 관련된 심각도 측도

고장 발생시간과 고장원인 탐지 및 조치시간의 분포를 토대로 심각도의 기댓값을 모형별로 구할 수 있다. 기댓값을 구하기 위해 먼저 T_ijk, U_ij및 D_ijk의 결합확률분포를 구해야 한다. 그런데 고장원인 발생에 대한 점검은 고장발생 여부와 무관하게 이루어지므로 D_ijk는 T_ijk나 U_ij와는 독립적이라 할 수 있다. 그런데 2.3.1절에서 기술한바와 같이 U^ij는 실제로는 준고장이 발생했다는 조건부 확률변수이므로 식 (1)과 (2)의 확률밀도함수를 곱하면 T_ijk와 U_ij의 결합확률밀도함수가 될 것이다. 따라서 결국 T_ijk, U_ij및 D_ijk 의 결합확률밀도함수는 식 (1), (2) 및 (3)의 확률밀도함수를 곱하여 얻어진다.

그러므로 식 (4)의 선형모형이 적합할 경우 심각도의 기댓값을 구하면

과 같으며 자세한 유도과정은 부록으로 돌린다. 같은 방법으로 식(5)의 제곱모형이 적합할 경우 심각도의 기댓값을 구하면

과 같으며 유도과정은 부록에 첨부한다.

마지막으로 고장 i및 준고장 j에 관련된 근본원인 k의 발생률 τ_ijk를 고려하여 위험평가지표를 개발할 수 있다. 고장의 근본원인 k의 위험도는 τ_ijk가 클수록 높아질 것이므로 E[S_ijk]에 τ_ijk를 곱함으로써 구할 수 있을 것이다. 따라서 위험평가지표 REM을

과 같이 정의하기로 한다.

시간지연모형을 토대로 위험평가를 하려면 기존의 FMEA 서식을 대폭 수정해야 한다. Table 1은 고장과 준고장 및 원인 그리고 영향을 나타내는 열뿐만 아니라 식 (6), (7), (8)의 각 비용계수와 분포 모수를 기입하는 열을 추가하여 FMEA 서식을 고안한 것이다.

Table 1의 서식을 작성하는 방법은 기존의 FMEA 서식 작성에 준하여 작성하되 다음 사항을 고려한다. 먼저 고장모드는 전통적인 방식에 따라 칸을 구분하여 FM₁, FM₂, ... 과 같이 기입하고 고장영향은 FE₁₁, FE₁₂, ... 등 여러 항목이 있어도 기입하는 칸을 구분하지 않고 같은 칸에 열거한다. 고장영향의 심각도를 반영하는 상수 c_i는 고장영향 중 가장 심각한 영향을 반영할 수 있도록 정하여 기입한다. 실제 고장을 유발하는 직접적인 원인 즉, 준고장이 SF₁₁, SF₁₂, ... 등으로 여러 개 있을 경우 칸을 구분하여 각각 기입한다. 준고장에 대응되는 심각도와 발생도 계수는 각각 해당 열에 b₁₁, b₁₂, ... 및 α₁₁, α₁₂, ... 와 같이 기입한다.

고장과 준고장의 근본원인이 RC₁₁₁, ..., RC11n11, RC₁₂₁, ..., RC12n12,... 등과 같이 여러 개 있을 경우에는 칸을 구분하여 각각 기입한다. 심각도 계수 및 발생도 계수도 a₁₁₁, ..., a11n11, a₁₂₁, ..., a12n12, ... 및 λ₁₁₁, ..., λ11n11, λ₁₂₁, ..., λ12n12, ... 등과 같이 칸을 구분하여 기입한다. 근본원인의 발생률도 τ₁₁₁, ..., τ11n11, τ₁₂₁, ..., τ12n12, ... 등과 같이 기입한다. 여기서 λ는 근본원인이 발생했을 때 그로 인해 준고장이 발생하게 될 비율에 관련된 모수이고 τ는 근본원인 자체의 발생빈도를 반영하는 모수임에 주의할 필요가 있다. 또한, 근본원인에 대한 검출률을 μ₁₁₁, ..., μ11n11, μ₁₂₁, ..., μ12n12, ...와 같이 기입한다.

마지막으로 모형에 따라 식 (6) 혹은 (7)을 선택하여 E[S_ijk]값을 계산하고 식 (8)을 이용하여 REM_ijk값을 구한다.

실제 FMEA 서식을 완성하기 위해서는 T_ijk, U_ij및 D_ijk의 구체적인 분포를 결정하는 모수 값에 대한 추정이 필요하다. 이에 대해서는 수명자료분석이나 가속수명시험 분야의 이론과 방법론을 응용할 수 있을 것이다. 전통적 FMEA의 발생도와 검출도의 수치 부여에도 추정 확률 값의 범위별로 기준을 제시하고 있다. 이것은 전통적인 방법에서도 어느 정도 발생이나 검출에 관련된 사전 정보가 있음을 전제로 한다는 것을 뜻한다. 이와 같이 사전지식이 있을 경우에는 베이지안 추정법 등 통계적 방법을 응용할 수도 있다.

다음으로 심각도 계수 a_ijk, b_ij, c_i의 추정은 비교적 쉽게 정할 수 있다. 먼저 a_ijk는 준고장 j를 거쳐 궁극적으로 고장 i에 이르게 되는 근본원인 k를 제거 조치하는 데 들어가는 비용이다. 예를 들어 2.1절의 샤프트 씰의 경우라면 현재 사용 중인 부적합한 윤활유를 정품으로 교체하는데 드는 경비 정도가 되겠다. 다음으로 b_ij는 준고장 이후 시간경과에 따른 비용발생의 증분을 결정하는 계수이다. 이것은 준고장 발생 초기 및 상당시간 경과 후의 두 시점에서의 조치 비용 정보만 있으면 결정가능하다. 예로서, 샤프트 씰의 경우 표면에 발생한 초기의 미세한 균열의 조치와 상당히 진행된 균열의 조치 비용을 알면 비용계수 b_ij를 정할 수 있을 것이다. 마지막으로 c_i는 실제 고장발생 후 시간경과에 따른 피해나 손실의 규모를 정하는 계수이다. 예로서, 샤프트 씰의 경우 파손으로 펌핑 매체가 누출되고 있을 경우 누출되는 속도 및 양은 시간 경과에 따라 증가할 것이며 매체의 종류에 따라 피해 규모가 달라질 것이다. 예상되는 피해 및 손실 규모에 대한 정보를 토대로 c_i값을 정할 수 있을 것이다.

수정된 FMEA 서식을 작성하는 방법을 예를 통해 살펴보기로 하자. Table 2의 예는 Wada(2000)의 FMFEA에서 원인분석 부분을 발췌하여 제안된 방법에 적용하기 위해 원래의 예를 목적에 맞게 다소 수정 정리한 것이다. 예로서 ‘Defective brush/cummutator contact’는 원 출처에서는 고장원인으로 나와 있으나 몇 단계에 걸쳐 다시 여러 하위 수준의 원인들로 전개되므로 여기서는 고장모드로 취급하였다. 또한, 심각도가 제곱모형에 적합한 것으로 간주하여 FMEA 서식을 완성하였다.

이 예의 경우 REM 값으로 판단해볼 때, 세 가지 근본 원인에 대해 조치를 취할 필요가 있음을 알 수 있다. 즉, ‘Slit too shallow’, ‘Slit too narrow’, ‘Holder pressure too great’의 세 가지 근본 원인에 대해서는 시급히 개선조치를 할 필요가 있고 나머지 요인들은 별다른 조치가 필요하지 않은 것으로 판단된다. 굳이 우선순위를 매긴다면

‘Brush attached backwards’가 네 번째로 중요한 원인이 되겠지만 REM 값으로 보아서는 무시할 수 있겠다.

REM은 심각도의 기댓값에 고장원인의 발생률을 곱해서 구해지는 값으로서 실질적인 위험의 크기를 반영한다고 할 수 있다. 반면 RPN은 고장형향의 심각도와 고장원인의 발생도와 검출도의 개략적인 추정치를 토대로 각각에 배정된 1과 10 사이의 수치를 곱해서 얻어진 값이다. 따라서 RPN은 상대적인 비교에는 사용될 수 있으나 그 자체가 절대적인 의미를 갖는 것은 아니다. 즉, REM 값이 560이면 단위에 따라 다르겠으나 금전적 손실이 실제 그 정도로 발생한다고 생각할 수 있겠으나 RPN이 560이라면 그 수치에 대한 실질적인 의미를 부여하기 어렵다. 다만, 두 고장원인의 RPN 값이 각각 560, 400이라면 전자가 먼저 조치를 취해야 할 가능성이 크다는 정도의 의미를 갖는 정도에 불과하며 그것도 확실한 것은 아니다. 만약 전자는 심각도 7, 발생도 8, 검출도 10으로 RPN이 560이고 후자는 심각도 10, 발생도 8, 검출도 5로서 RPN이 400이라면 후자를 우선적으로 조치해야 한다는 것이 전통적인 FMEA 매뉴얼에 나오는 권장사항이다. (Ford Design Institute, 2004.) 즉, RPN은 그 하나의 값으로는 거의 유용한 정보를 제공하지 못하며 개략적인 위험우선순위 정보를 줄 수 있는 측도로 생각할 수 있다.

REM 값을 기준으로 고장원인을 비교할 때 조치를 취해야 할 원인과 그렇지 않은 원인들을 객관적으로 분류할 수 있을 뿐만 아니라 REM값 자체가 명확한 판단기준이 될 수 있다. 예를 들어 Table 2에서 고장원인 ‘Brush attached backwards’의 경우 순위 상으로는 네 번째이다. 그러나 REM 값으로 보아 첫 번째부터 세 번째까지의 값이 각각 1038.6, 566.5 및 488.9임과 비교하여 네 번째 REM 값은 5.3으로서 거의 1/100 수준에 불과하여 무시해도 좋을 정도로서 조치를 취하지 않아도 그다지 문제가 되지 않을 것임을 알 수 있다. 또한, REM은 사실상 고장원인에 따른 손실액의 기댓값을 반영하고 있기 때문에 순위가 첫 번째라 하더라도 REM 값으로 미루어 무시할 수 있다면 조치를 취하지 않아도 된다는 판단을 쉽게 할 수 있다. 그러나 RPN의 경우 절대적인 심각도를 반영하는 것이 아니기 때문에 이와 같은 판단을 쉽게 할 수 없을 경우가 많다. 도출과정을 검토해보면 RPN 완전히 상대적인 측도도 절대적인 측도도 아니다. 반면에 REM은 고장원인에 의해 유발되는 손실의 기댓값에 고장원인의 발생률을 곱한 것으로 당해 고장원인의 절대적인 위험수준을 나타낸다고 볼 수 있다.

REM의 경우 관련 비용 계수나 분포모수 값을 과거 데이터를 토대로 통계적인 이론을 적용하여 추정하여 사용함으로써 객관적인 결론을 도출할 수 있다. 그러나 RPN의 구성요소인 심각도, 발생도, 검출도는 과거 경험을 토대로 모두 1점과 10점 사이의 점수 중 적절한 값을 부여하도록 하고 있다. 따라서 계산된 RPN 값은 실질적인 위험의 정도를 그대로 반영한다고 보기 어렵다. 뿐만 아니라 특정 고장원인에 대해 심각도, 발생도, 검출도 점수를 정할 때 FMEA를 어느 팀이 실시하는가에 따라 달라질 수 있다. 이와 같이 주관적인 판단의 영향으로 인해 FMEA는 똑같은 문제를 다른 팀이 분석할 경우 완전히 다른 결론이 도출될 수도 있다.